Библиотечка

Алгебраическая геометрия

Определение многообразия

Есть три подхода к определению многообразия:

  1. Наивный: аффинное многообразие как алгебраическое подмножество — нули системы многочленов в аффинном пространстве, см. Харриса. Проективные многообразия задаются как нули однородных многочленов в проективном пространстве.
  2. Схемный: многообразие как спектр алгебры, см. ниже.
  3. Категорный.
Грубое описание схемного подхода

Опишем схемный подход, следуя Эмми Нётер. Имея аффинную алгебру (то есть коммутативную, ассоциативную, с единицей, нётерову), возьмём все максимальные идеалы в качестве точек многообразия, а топологию Зарисского зададим так: каждый простой идеал $I$ задаёт замкнутое множество, содержащее те точки, идеалы которых содержат $I$. Эта конструкция называется (максимальным) спектром алгебры и не привязана к вложению в аффинное пространство.

Алгебра замкнутого подмножества получается факторизацией, открытого — локализацией алгебры исходного многообразия.

Для описания прочих, общих алгебраических многообразий, используется конструкция пучка колец, позволяющего сшивать произвольные многообразия из аффинных. Такие аффинные многообразия называются картами, вместе они образуют атлас.

Вопросы
  1. Проверьте, что вложение аффинного многообразия в аффинное пространство соответствует выбору порождающих алгебры.
  2. Чему соответствуют идеалы 0 и 1?
  3. Опишите алгебру пары координатных осей на плоскости.
  4. Опишите атлас проективного пространства. Как из него получить атлас проективного многообразия?

Касательные пространства

Подходы к определению:

  1. Наивный: якобиан
  2. Алгебраический: сперва определим кокасательное пространство (линейных функционалов) $(T_p M)^\vee = m_p/m_p^2$, а потом уже касательное $T_pM= (m_p/m_p^2)^\vee$.
  3. Схемный: определим касательные вектора через нильпотенты (см. Манина) и $k[t]$-точки (см. Wiese).

Размерность касательного пространства постоянна на открытом множестве — именно она называется размерностью многообразия. В остальных, особых точках, она подскакивает — в них ранг якобиана не максимален.

Отображения

Отображения неприводимых многообразий достаточно определить на открытом множестве - то есть, можно задать гомоморфизмом алгебр и продолжить на пучки. Если отображение всюду определено, то оно называется регулярным, или морфизмом, иначе — рациональным.

Дифференциал отображения Дифференциал отображения является гомоморфизмом касательных пространств и выражается якобианом.
Собственные отображения Неопределённость отображения бывает двух типов: когда одна точка переходит во много (через раздутия) и когда точка не переходит никуда (взятие открытого подмножества). Если ни в образе, ни в прообразе нет точек, не участвующих в отображении (никуда не переходящих и ниоткуда не берущихся), то такое отображение называется собственным (proper). Это описание интуитивное и не вполне верное.

Когомологии

Общее введение в пучки и расслоения, где по наугад взятой связности строим когомологии пучка. Классы Черна и кольца Чжоу на гладком алгебраическом многообразии.

Библиография

  1. Юрий Манин, Введение в теорию схем и квантовые группы
  2. Харрис, Алгебраическая геометрия. Начальный курс
  3. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия
  4. Майлз Рид, Алгебраическая геометрия для всех
  5. Gabor Wiese, Lie Algebras