Библиотечка
Алгебраическая геометрия Ссылка на заголовок
Определение многообразия Ссылка на заголовок
Есть три подхода к определению многообразия:
- Наивный: аффинное многообразие как алгебраическое подмножество — нули системы многочленов в аффинном пространстве, см. Харриса. Проективные многообразия задаются как нули однородных многочленов в проективном пространстве.
- Схемный: многообразие как спектр алгебры, см. ниже.
- Категорный.
Грубое описание схемного подхода
Опишем схемный подход, следуя Эмми Нётер. Имея аффинную алгебру (то есть коммутативную, ассоциативную, с единицей, нётерову), возьмём все максимальные идеалы в качестве точек многообразия, а топологию Зарисского зададим так: каждый простой идеал $I$ задаёт замкнутое множество, содержащее те точки, идеалы которых содержат $I$. Эта конструкция называется (максимальным) спектром алгебры и не привязана к вложению в аффинное пространство.
Алгебра замкнутого подмножества получается факторизацией, открытого — локализацией алгебры исходного многообразия.
Для описания прочих, общих алгебраических многообразий, используется конструкция пучка колец, позволяющего сшивать произвольные многообразия из аффинных. Такие аффинные многообразия называются картами, вместе они образуют атлас.
Вопросы
- Проверьте, что вложение аффинного многообразия в аффинное пространство соответствует выбору порождающих алгебры.
- Чему соответствуют идеалы 0 и 1?
- Опишите алгебру пары координатных осей на плоскости.
- Опишите атлас проективного пространства. Как из него получить атлас проективного многообразия?
Касательные пространства Ссылка на заголовок
Подходы к определению:
- Наивный: якобиан
- Алгебраический: сперва определим кокасательное пространство (линейных функционалов) $(T_p M)^\vee = m_p/m_p^2$, а потом уже касательное $T_pM= (m_p/m_p^2)^\vee$ — дифференцирований в точке.
- Схемный: определим касательные вектора через нильпотенты (см. Манина) и $k[t]$-точки (см. Wiese).
Размерность касательного пространства постоянна на открытом множестве — именно она называется размерностью многообразия. В остальных, особых точках, она подскакивает — в них ранг якобиана не максимален.
Отображения Ссылка на заголовок
Отображения неприводимых многообразий достаточно определить на открытом множестве - то есть, можно задать гомоморфизмом алгебр и продолжить на пучки. Если отображение всюду определено, то оно называется регулярным, или морфизмом, иначе — рациональным.
Дифференциал отображения
Дифференциал отображения является гомоморфизмом касательных пространств и выражается якобианом.Собственные отображения
Неопределённость отображения бывает двух типов: когда одна точка переходит во много (через раздутия) и когда точка не переходит никуда (взятие открытого подмножества). Если ни в образе, ни в прообразе нет точек, не участвующих в отображении (никуда не переходящих и ниоткуда не берущихся), то такое отображение называется собственным (proper). Это описание интуитивное и не вполне верное.Когомологии Ссылка на заголовок
Общее введение в пучки и расслоения, где по наугад взятой связности строим когомологии пучка. Классы Черна и кольца Чжоу на гладком алгебраическом многообразии.
Библиография Ссылка на заголовок
- Юрий Манин, Введение в теорию схем и квантовые группы
- Харрис, Алгебраическая геометрия. Начальный курс
- Хартсхорн, Алгебраическая геометрия
- Майлз Рид, Алгебраическая геометрия для всех
- Gabor Wiese, Lie Algebras